Многоугольники

Рене Декарт

Научные идеи этого французского математика, физика, физиолога и механика послужили отправной точкой в развитии многих наук. Ученый изобрел алгебраические символы, которыми мы пользуемся, по сей день, положил начало развитию аналитической геометрии.

Его главный труд «Рассуждение о методе», содержащий несколько приложений с основными постулатами оптики, геометрии, других точных наук, точно отражал Закон преломления света, другие оптические, механические закономерности.

Декарт разработал систему координат, благодаря применению которой стало возможным описание геометрических параметров кривых и тел алгебраическим языком, упростилась работа с отрицательными числами.

Презентация «Фигуры вокруг нас»

Презентация «Фигуры вокруг нас» поможет дошкольникам познакомиться с геометрическими фигурами, закрепить их названия и умение находить предметы определённой формы в окружающем мире. Знакомство с фигурами сопровождается художественным словом, что делает этот процесс ещё увлекательнее.

Задачи презентации

Образовательные: учить выделять в предметах окружающего мира форму

Учить внимательно слушать стихи и обсуждать прочитанное, расширять знания о разнообразии форм.

Развивающие: развивать восприятие, внимание и мышление.

Воспитательные: формировать умение не мешать друг другу при просмотре презентации.

Ход презентации

Слайд 2.

Мы встречаем их везде — На земле и на воде, В небесах и под землёй. Нам они нужны с тобой! Будем их мы называть, В окружении искать. Треугольник, круг, квадрат, Тем фигурам каждый рад. Различить их с вами сможем. Мы без них никак не можем.

Слайд 3, 4.

КРУГ Круглый круг похож на мячик, Он по небу солнцем скачет. Круглый словно диск луны, Как бабулины блины, Как тарелка, как венок, Как весёлый колобок, Как колёса, как колечки, Как пирог из тёплой печки! Ребята, а что бывает круглым?

Слайд 5, 6.

ТРЕУГОЛЬНИК Треугольный треугольник Угловатый своевольник. Он похож на крышу дома И на шапочку у гнома. И на острый кончик стрелки, И на ушки рыжей белки. Угловатый очень с виду Он похож на пирамиду! А что бывает треугольным?

Слайд 7, 8.

КВАДРАТ Словно стол стоит квадрат. Он гостям обычно рад. Он квадратное печенье Положил для угощенья. Он — квадратная корзина И квадратная картина. Все четыре стороны У квадратика равны. Давайте посмотрим, что бывает квадратным?

Слайд 9, 10.

ОВАЛ С высоты кружок упал. Он теперь не круг — овал! Он овальный, как жучок, Он похож на кабачок, На глаза и на картошку, А ещё похож на ложку, На орех и на яйцо, На овальное лицо! Что может иметь овальную форму?

Слайд 11, 12.

ПОЛУКРУГ Если круг разломишь вдруг, То получишь полукруг. Это месяц в облаках И пол-яблока в руках. Это шляпка у грибочка, На болоте мокром кочка. Разноцветным полукругом Встала радуга над лугом.

Слайд 13, 14.

РОМБ Слон квадратик повернул, Присмотрелся и вздохнул. Сверху сел, чуть-чуть примял, И квадратик ромбом стал! Давайте подумаем, что же может быть в форме ромба?

Слайд 15, 16.

ТРАПЕЦИЯ Если влезть с пилой повыше, Отпилить у дома крышу, То хозяев мы обидим, Но трапецию увидим! А потом мы всё починим И из шкафа юбку вынем. Мы увидим: юбка тоже На трапецию похожа! Ребята, посмотрите, что бывает в форме трапеции?

Слайд 17, 18.

ЗВЕЗДА Хорошо живётся мне В вышине и в глубине. Отгадать меня вам просто — Пять углов тупых, пять острых. А что же бывает в форме звезды?

Слайд 19, 20.

Рассмотрите картинку. Какие геометрические фигуры вы видите?

После просмотра презентации детям можно предложить творческое задание «Дорисуй фигуру» и устроить потом выставку детских рисунков. Презентация «Фигуры вокруг нас» может быть использована, как элемент занятия или совместной деятельности с детьми. Материал так же можно распечатать и создать альбом «Геометрические фигуры» для пополнения уголка математики в средней группе. Закреплять знания о геометрических фигурах и развивать пространственное восприятие помогают карточки «Геометрическая мозаика».

Российские математики

Не меньший вклад в науку сделали российские математики. Многие открытия лучших умов России получили известность далеко за пределами страны. Самые серьезные достижения русской математической науки пришлись на вторую половину 19 века.

Николай Лобачевский

Одаренный русский ученый, сумевший открыть отдельное направление в геометрии, получившее название «неэвклидовой» или геометрии Лобачевского.

Ему удалось получить положительные результаты в решении тонких теорем о тригонометрических рядах, определить признаки сходимости рядов.

Публикации ученого в области алгебры, физики, астрономии широко получили признание в научном мире.

Софья Ковалевская

Является первой в России женщиной, получившей звание профессора математики. Основной сферой исследования Ковалевской была небесная механика и математическая физика.

Талантливой женщине-ученому удалось найти третий вариант решения задачи о вращении тел вокруг неподвижной точки. Софья Васильевна занималась поиском решения задачи Лапласа о равновесии колец Сатурна. Решила одну из задач Коши. В 1889 году Ковалевская была награждена престижной премией Парижской  академии за изучение вращения тяжелого несимметричного волчка. 

Андрей Колмогоров

Знаменитый русский ученый, сделавший весомый вклад в разработку современной теории вероятности. Работы исследователя, применяющие научный подход к художественной литературе, известны на весь мир.

Колмогоров является первым русским ученым-кибернетиком. Ему принадлежит множество значимых открытий в геометрии, математической логике, теории меры и других областях математики.

Архимед

Как и многие другие великие математики древности, этот ученый издревнегреческого города Сиракузы, был талантлив во многих областях.

Ему принадлежат ключевые открытия в геометрии. Архимед является создателем формулы вычисления объема и площади шара. Идеи гениального ученого стали основой интегральных исчислений, разработанных позже.

Другие открытия математика:

• число Пи, представляющее собой отношение диаметра окружности к длине;
• полуправильные многогранники;
• геометрический метод решения кубических уравнений.

Ученый является родоначальником механики и гидростатики. Кроме математики и физики, Архимед активно занимался оптикой и астрономией.

Виды фигур

Треугольник

Это многоугольник с тремя вершинами и тремя отрезками, соединяющими их. При этом точки соединения отрезков не лежат на одной прямой.

Точки соединения отрезков — это вершины треугольника. Сами отрезки называются сторонами треугольника. Общая сумма внутренних углов каждого треугольника равняется 180°.

По соотношениям между сторонами все треугольники можно подразделять на несколько видов:

1. Равносторонние — у которых длина всех отрезков одинаковая.
2. Равнобедренные — треугольники, у которых равны два отрезка из трех.
3. Разносторонние — если длина всех отрезков разная.

Кроме того, принято различать следующие треугольники:

1. Остроугольные.
2. Прямоугольные.
3. Тупоугольные.

Четырехугольник

Четырехугольником называется плоская фигура, имеющая 4 вершины и 4 отрезка, которые их последовательно соединяют.

1. Если все углы четырехугольника прямые — эта фигура называется прямоугольником.
2. Прямоугольник, у которого все стороны имеют одинаковую величину, называется квадратом.
3. Четырехугольник, все стороны которого равны, называется ромбом.

На одной прямой не может находиться сразу три вершины четырехугольника.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Текст слайда:

Многоугольники
вокруг
нас

Составитель: Критинина О. М. учитель математики МКОУ БООШ №5

Слайд 2

Текст слайда:

Паркетный пол во все времена считался символом престижа и хорошего вкуса. Сама история художественного паркета очень древняя — она датируется приблизительно 12 столетием.. Первый художественный паркет выкладывался достаточно примитивно, с точки зрения современности — из обычных деревянных кусочков, подходящих по цвету. Сегодня доступно формирование сложных орнаментов и мозаичных сочетаний. Это достигается благодаря лазерной и механической резке высокой точности.

Слайд 3

Текст слайда:

Астрономам сегодня известно, что на Красной планете имеются крупные, в диаметре от сотни до тысячи метров, многоугольные образования. Как и откуда они появились — вот предмет настоящих дебатов исследователей. Что касается многоугольников — они обнаружены, по большей части, в северных равнинах Красной планеты. На нашей планете такие многоугольники хорошо видны в Норвежском и Северном морях, т.е. там, где глубина больше пятисот метров. Это дает основание ученым предполагать, что древний Марс был покрыт такими же морями, в результате чего и сформировался его современный рельеф.

Слайд 4

Текст слайда:

В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет Александрийский маяк состоял из трех мраморных башен. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. Общая высота маяка составляла 117 метров.

Слайд 5

Текст слайда:

Пчёлы – удивительные творения природы.
Свои геометрические способности они проявляют при построении сот.

Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками

Слайд 6

Текст слайда:

Танграмм – это известная всему миру игра, созданная на основе древних китайских головоломок. По легенде, 4 тысячи лет назад у одного мужчины выпала из рук керамическая плитка и разбилась на 7 частей. Взволнованный, он посохом попытался её собрать. Но из вновь составленных частей каждый раз получал новые интересные изображения. Это занятие вскоре оказалось настолько захватывающим, головоломным, что составленный квадрат из семи геометрических фигур назвали Доской Мудрости. Если разрезать квадрат, как показано на рисунке выше, то получится популярная китайская головоломка ТАНГРАМ. У нас она сейчас распространена под названием «Пифагор»

Слайд 7

Текст слайда:

До сих пор многоугольники нередко называют в науке по-гречески с окончанием “гон”: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник
(такой формы сверху здание Театра Российской Армии в Москве и Министерства обороны США в Вашингтоне)

Слайд 8

Текст слайда:

Водоросль вольвокс – один из простейших многоклеточных организмов, представляет собой сферическую оболочку, сложенную в основном семиугольными, шестиугольными, пятиугольными клетками.

Слайд 9

Текст слайда:

Берму́дский треуго́льник — район в Атлантическом океане, в котором якобы происходят таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

Слайд 10

Текст слайда:

«Математика владеет не только истинной , но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства»Бертран Рассел

Правильные многоугольники

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ \). 

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \( \displaystyle \angle A\) можно найти:

\( \displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ \).

Что мы еще должны знать?

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри, как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника.

Посмотри на \( \displaystyle \Delta OKG\). В нем \( \displaystyle OK=r,OG=R.\)

Значит, \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin \angle x\) – и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае \( \displaystyle \angle x\)?

Ровно половине \( \displaystyle \angle G\), представь себе!

Значит \( \displaystyle \angle x=\frac{135{}^\circ }{2}=67,5{}^\circ \).

Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника \( \displaystyle \frac{r}{R}=\sin 67,5{}^\circ \).

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки \( \displaystyle O\)?

И тот же ответ: конечно можно!

Альберт Эйнштейн 1879 1955

Фамилия этого уникального человека известна далеко за пределами научных кругов, став синонимом выдающегося ума и высочайших интеллектуальных способностей.

Выходец из бедной еврейской семьи, Альберт родился в южно-немецком городке Ульм, а основное образование получил в Швейцарии.

Его научные статьи и разработки  совершили настоящую революцию в физике и математике. В их число вошли:

1. Специальная и общая теории относительности.
2. Квантовая теория теплоемкости и фотоэффекта.
3. Теория броуновского движения в статической физике.
4. Теория индуцированного излучения и т.д.

Многие современные математики равняются на Эйнштейна, считая его гениальным ученым своего времени. В 1921 году он был удостоен Нобелевской премии за заслуги в области физики.

Это интересно: самое известное фото ученого, на котором он показывает язык на камеру, стало настоящим мемом. Можно сказать, что это изображение является «визитной карточкой» гения. История изображения довольно банальна. Такая «фривольность» на фото объясняется усталостью и плохим настроением ученого, который пытался с супругой уехать домой после банкета в честь своего 72-летия, но журналисты не давали ему прохода.

Когда один из них направил камеру Эйнштейну в лицо и попросил улыбнуться, профессор в ответ показал ему язык. Он был уверен, что камера не успеет зафиксировать изображение, но ошибся, так как у назойливого журналиста была последняя модель с высокой скоростью схватывания кадров. В итоге фотография ученому очень понравилась, и он с удовольствием дарил ее своим знакомым и друзьям.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Текст слайда:

МНОГОУГОЛЬНИКИ

Слайд 2

Текст слайда:

ПРАВИЛЬНЫЕМНОГОУГОЛЬНИКИ

Слайд 3

Текст слайда:

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Слайд 4

Текст слайда:

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК — ЭТО

выпуклый многогранниквсе грани – равные правильные многоугольникив каждой вершине сходится одно и тоже число рёбер

Слайд 5

Текст слайда:

Исследовательская работа

Таблица 1

Слайд 6

Текст слайда:

Исследовательская работа

Таблица 1

Слайд 7

Текст слайда:

Таблица 2

Исследовательская работа

Слайд 8

Текст слайда:

Таблица 2

Исследовательская работа

Слайд 9

Текст слайда:

Леонард Эйлер(1701-1783)Немецкий математик и физик

Формула Эйлера(для правильных многогранников)

Г+В-Р=2

Слайд 10

Текст слайда:

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук
Л. Кэрролл

Слайд 11

Текст слайда:

Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существуют только пять правильных многогранников.

Тетраэдр

Икосаэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Гексаэдр

Тетра – четыреГекса – шестьОкта – восемьДодека – двеннадцатьИкоса — двадцать

Слайд 12

Текст слайда:

ОТКУДА ПОЯВИЛИСЬ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ?

Слайд 13

Текст слайда:

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба; 2) Правильная форма алмаза – октаэдра; 3) Кристаллы пирита – додекаэдра.

1

2

3

Многогранники и неживая природа

Слайд 14

Текст слайда:

Многогранники и живая природа

Феодария

Скелет этих одноклеточных организмов по форме напоминает икосаэдр. Такая форма помогает феодариям преодолевать давление водной толщи.

Слайд 15

Текст слайда:

Многогранники и архитектура

Великая пирамида в Гизе

Слайд 16

Текст слайда:

Многогранники и исскуство

Сальвадор Дали «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены сидящими внутри огромного прозрачного додекаэдра.

Слайд 17

Текст слайда:

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр.

Многогранники и исскуство

Слайд 18

Текст слайда:

Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа

ОТКУДА ПОЯВИЛИСЬ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ?

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Текст слайда:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

п. 36, задание по выбору:а) №№ 271-275 одно на выбор;б) с использованием компьютерных программ представить изображение в виде файла или на бумаге звёздчатого многогранника (звездчатого октаэдра).

Слайд 23

Текст слайда:

Правильные многогранники

Тетраэдр

Икосаэдр

Куб(Гексаэдр)

Октаэдр

Додекаэдр

Слайд 24

Текст слайда:

СПАСИБО ЗА РАБОТУ!

Описание документа:

В начале прошлого …столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Геометрические знания и умения являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. Человек не может по настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека.

Геометрия — это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть , думать и делать выводы.

“Математик так же, как художник или поэт, создаёт узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей… Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идея так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики”.

Актуальность выбранной темы

На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Многие окружающие нас предметы имеют форму, похожую на уже знакомые нам геометрические фигуры. Поверхности кирпича, куска мыла состоят из шести граней. Комнаты, шкафы, ящики, столы, железобетонные блоки напоминают своей формой прямоугольный параллелепипед, грани у которых — знакомые нам четырехугольники.

Многоугольники, несомненно, обладают красотой и используются в нашей жизни очень обширно. Многоугольники важны для нас, без них мы бы не смогли строить такие прекрасные здания, скульптуры, фрески, графики и многое другое. Интерес к теме «Многоугольники» у меня появился после урока – игры, где учительница представила нам задачу – сказку о выборе короля.

Собрались все многоугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли придти к единому мнению. И вот один старый параллелограмм сказал: “Давайте все отправимся в царство многоугольников. Кто первым придет, тот и будет королем” Все согласились. Рано утром отправились все в далекое путешествие. На пути путешественников повстречалась река, которая сказала: “Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам” Часть фигур осталась на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им повстречалась высокая гора, которая сказала, что даст пройти только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталась у горы, остальные продолжили путь. Дошли до большого обрыва, где был узкий мост. Мост сказал, что пропустит тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. По мосту прошел только один многоугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем. Вот и выбрали короля. Я тоже выбрала себе тему для исследовательской работы.

Цель исследовательской работы: Практическое применение многоугольников в окружающем нас мире.

Задачи:

1. Провести литературный обзор по теме.

2. Показать практическое применение  многоугольников в окружающем нас мире.

Проблемный вопрос: Как

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Этот известный математик жил в одно время с Исааком Ньютоном, поэтому многие его открытия находились в своеобразной тени из-за всемирной славы гениального оппонента.

Тем не менее, вклад Лейбница  в науку не менее значителен. Например, в алгебре и сегодня применяются его обозначения бесконечно малых величин.

Немецкий ученый поспособствовал появлению первых цифровых калькуляторов, доработав двоичную систему исчисления. Ряд работ исследователя посвящена биномиальным коэффициентам и арифметическим рядам. Также им был разработан универсальный алгоритм для определения признаков делимости чисел.

Пифагор

Это имя известно каждому школьнику, которому приходилось учить таблицу умножения, иначе называющуюся «Таблицей Пифагора».

Однако это не единственное открытие ученого,  жившего в Древней Греции,  в период 570 – 490 гг до н. э., Пифагор стал основателем математики как фундаментальной науки, организатором школы пифагорейцев.

К его достижениям относят:

• Открытие метода построения многоугольников.
• Теорему о квадрате гипотенузы прямоугольного треугольника.

Ученый первым высказал предположение о том, что Земля имеет шарообразную форму. Пифагор увлекался астрономией, нумерологией и музыкой, верил в существование инопланетных рас.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Текст слайда:

Исследовательская работа
« Секреты многоугольников »
(Только для пятиклассников)

Слайд 2

Текст слайда:

Цель работы:Приумножить геометрические знания по многоугольникам Задачи: Повторить навыки работы с транспортиром; измерить сумму углов в различных многоугольниках; Составить формулу для определения суммы углов и воспользоваться ею для нахождения суммы углов многоугольников;Провести диагонали в многоугольниках, составить формулу для вычисления количества диагоналей;Научиться находить закономерности в определённых действиях, обобщать, делать выводы;

Слайд 3

Текст слайда:

Задание №1

1 — измерить углы различных треугольников, найти сумму всех углов, сделать вывод2 — измерить углы различных четырёхугольников, найти сумму всех углов, сделать вывод3 — измерить углы различных пятиугольников, найти сумму всех углов, сделать вывод4 — измерить углы различных шестиугольников найти сумму всех углов, сделать вывод

Слайд 4

Текст слайда:

Выводы

Сумма углов любого треугольника равна 180°Сумма углов любого четырёхугольника = 360°Сумма углов любого пятиугольника равна 540 °Сумма углов любого шестиугольника равна 720°

Слайд 5

Текст слайда:

Найти сумму углов 12-тиугольника

Необходима формула. Находим закономерность. Свяжем все результаты измерения со 180°и с количеством углов 180° х 1 180°х2 180°х4 180°х3

Слайд 6

Текст слайда:

Найти сумму углов 12-тиугольника

Слайд 7

Текст слайда:

Найти сумму углов 12-тиугольника

Решение:Подставляем в формулу вместо n число, обозначающее количество углов , т.е. 12, получим: ∑=180°(12-2)=180°х 10= 1800 °

Слайд 8

Текст слайда:

Задание №2

1 — Провести диагонали в различных треугольниках, подсчитать их количество;2 — Провести диагонали в различных четырёхугольниках, подсчитать их количество;3 — Провести диагонали в различных пятиугольниках, подсчитать их количество; 4 -Провести диагонали в различных шестиугольниках, подсчитать их количество.

Слайд 9

Текст слайда:

Результаты опытов

Треугольник- нет диагоналейЧетырёхугольник -2

Слайд 10

Текст слайда:

Пятиугольник-5Шестиугольник-9

Слайд 11

Текст слайда:

(5-3)х5: 2=5 (6-3)х6:2=9

N =n·(n – 3):2

Слайд 12

Текст слайда:

Вот и весь секрет!

N =n·(n – 3):2

∑=180° (n-2)

Слайд 13

Текст слайда:

Восстановите запись. Одинаковые фигуры обозначают одинаковые цифры.

Слайд 14

Текст слайда:

Рефлексия

Слайд 15

Основные понятия

Описывая определение многоугольника, следует учитывать некоторые смежные геометрические понятия:

1. Если вершины являются концами одной стороны, они называются соседними.
2. Если отрезок соединяет между собой несоседние вершины, то он имеет название диагонали. У треугольника не может быть диагоналей.
3. Внутренний угол — это угол при одной из вершин, который образован двумя его сторонами, сходящимися в этой точке. Он всегда располагается во внутренней области геометрической фигуры. Если многоугольник невыпуклый, его размер может превосходить 180 градусов.
4. Внешний угол при определенной вершине — это угол смежный с внутренним при ней же. Иными словами, внешним углом можно считать разность между 180° и величиной внутреннего угла.
5. Сумма величин всех отрезков носит название периметра.
6. Если все стороны и все углы равны — он носит название правильного. Правильными могут быть только выпуклые.

Как уже упоминалось выше, названия многоугольных геометрических строятся исходя из количества вершин. Если у фигуры их количество равняется n, она носит название n-угольника:

1. Многоугольник называется плоским, если ограничивает конечную часть плоскости. Эта геометрическая фигура может быть вписанной в окружность или описанной вокруг окружности.
2. Выпуклым называется n-угольник, который соответствует одному из условий, приведенных ниже.
3. Фигура расположена по одну сторону от прямой линии, которая соединяет две соседних вершины.
4. Эта фигура служит общей частью или пересечением нескольких полуплоскостей.
5. Диагонали располагаются внутри многоугольника.
6. Если концы отрезка располагаются в точках, которые принадлежат многоугольнику, весь отрезок принадлежит ему.
7. Фигура может называться правильной, если у нее все отрезки и все углы равны. Примерами могут служить квадрат, равносторонний треугольник или правильный пятиугольник.
8. Если n-угольник невыпуклый, все стороны и углы его равны, а вершины совпали с таковыми правильного n-угольника, он называется звездчатым. У таких фигур могут иметься самопересечения. Примерами могут служить пентаграмма или гексаграмма.
9. Треугольник или четырехугольник называется вписанным в окружность, когда все его вершины располагаются внутри одной окружности. Если же стороны этой фигуры имеют точки соприкосновения с окружностью, это многоугольник описанным около некоторой окружности.

Любой выпуклый n-угольник можно поделить на треугольники. При этом количество треугольников бывает меньше количества сторон на 2.